Чисельні методи розвязування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

Міністерство освіти і науки України

Сумський Державний Університет
Кафедра Інформатики
Курсова робота
на тему:

«Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь»

«Метод скінченних різниць»
Суми 2006

Зміст
Вступ

Постановка задачі

Метод скінчених різниць

Дослідження точності

Збіжність різницевої схеми

Програмна реалізація(представлена на мові Delphi

Висновки

Література

Вступ
На сьогоднішній день існує багато чисельних методів розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Але всі вони поділяються на дві групи: наближені методи чисельного розв’язання і наближені аналітичні методи.

Наближені чисельні методи:

1.Розв'язання лінійної крайової задачі комбінуванням двох задач Коші:

Припустимо, що розв'язок задачі (11.4), (11.5) будемо шукати у вигляді
                                                                          (11.6)
де - деяка константа, - функція, що задовольняє однорідне рівняння
                                                                                             (11.7)
а - функція, яка задовольняє неоднорідне рівняння
                                                                                         (11.8)
Через те, що рівняння (11.4) є лінійним, функція буде його розв'язком для будь-якого . Справді,

Якщо припустити, що розв’язок (11.6) задовольняє першу граничну умову (11.5) для будь-якого , то отримаємо рівняння

Ця гранична умова задовольняється, якщо покласти
                                                                  (11.9)

                                                         (11.10)
Рівність (11.9) справедлива, коли прийняти, наприклад, що
,                                                                 (11.11)
Щоб задовольнити рівність (11.10), можна покласти
, , якщо                                               (11.12)

, , якщо                                                (11.13)
Враховуємо, що одночасно і на нуль не перетворюються через умову (11.5).

Таким чином, для розв'язання крайової задачі (11.4), (11.5) необхідно знайти розв'язок задач
, ,                          (11.14)

                                                            (11.15)
з початковими умовами (11.12) чи (11 13). Для цього можна використати будь-який чисельний метод розв'язання задачі Коші для рівнянь другого порядку. Наближений розв'язок цих рівнянь отримуємо на відрізку , у результаті чого стають відомими значення ,,,. Це дозволяє вибрати таку константу . щоб функція (11.6) задовольняла не тільки рівняння (11.12) і першу граничну умову, але і другу граничну умову (11.5). Маємо
,
звідки

,

якщо . (11.16)
Коли , то однорідна крайова задача
, ,
мас нетривіальний розв'язок , який є ознакою виродженості початкової задачі (11.4), (11.5).

2. Метод прицілювання:

Викладений вище метод редукції крайової задачі до задачі Коші має певні недоліки.

Він не дозволяє використовувати методи розв'язання задачі Коші зі змінним порядком і змінним кроком. Розв'язки і повинні обчислюватись на сітці з однаковим кроком, інакше знайти їх комбінацію (11.6) буде неможливо.

Використання методу, як правило, обмежується лише одновимірною лінійною задачею. Причина полягає в тому, що під час розв'язання системи рівнянь потрібно обчислювати не одне значення константи А (11.16), а матрицю А, що є далеко не простою задачею.

Метод не придатний для розв'язання нелінійних крайових задач.

Ці недоліки спричинилися до появи нових методів. На практиці двоточкова крайова задача (лінійна чи нелінійна) звичайно розв'язується методом прицілювання (стрільби), назва якого запозичена із теорії артилерійської стрільби. Відповідно до цього методу розв'язок шуканого рівняння другого порядку

із заданими граничними умовами
, ,
знаходять у такий спосіб: ітераційним розв'язанням задачі Коші
(11.18)

і
підбирається значення першої похідної , для якої виконується друга крайова умова .

Спочатку вибирається довільне значення і розв'язується задача Коші (11.18). Значення бажано вибирати так, щоб наближений розв'язок на кінці інтервалу задовольняв умову (рис 1.). Потім вибирається , і розв'язання задачі Коші повторюється. Тепер бажано вибрати його так, щоб виконувалась умова (рис 1.).

рис. 1. Ілюстрація методу стрільби.
Після цього шляхом інтерполяції уточнюється значення для задач Коші з початковими умовами:
,

……..                   ……..                   ……..
де - наближений розв'язок задачі Коші в точці для вибраного значення .

Метод прицілювання є універсальним і використовується для розв'язання нелінійних диференціальних рівнянь -ого порядку. Слід зазначити, що довільний вибір початкового наближення може привести до того, що задача (11.18) виявиться жорсткою навіть у випадку, коли задача (11.1), (11.2) є добре обумовленою.

Наближені аналітичні методи:

3.Метод колокацій:

У методі колокацій розв'язок крайової задачі (11.4), (11.5) шукається у вигляді функції
.                                                               (11.36)

де , - лінійно незалежні, двічі диференційовані базисні функції, визначені на відрізку. Функція повинна задовольняти задані граничні умови (11.5):

                                                        (11.37,а)
а функції, - відповідні однорідні граничні умови, тобто
,

,

.                                                                                (11.37,б)
Через лінійність граничних умов функція у (11.36) задовольняє граничним умовам (11.24) для будь-яких значень . Наприклад, у точці маємо
.
Аналогічно для отримаємо

Суть методу колокацій полягає в тому, що для заданих точок на відрізку , названих вузлами колокації, підбирають значення так, щоб отримана при цьому функція (11.36) задовольняла рівняння (11.4) у кожному з вузлів колокації:

,(11.38)

де

, .
Покладемо
,                                                                            (11.39)

тоді (11.39) матиме стандартний вигляд системи лінійних алгебраїчних рівнянь:
,                                                               (11.40)
відносно коефіцієнтів . Якщо розв'язати цю систему і підставити отримані значення коефіцієнтів у вираз (11.36), отримаємо наближений розв'язок .

Точність розв'язку крайової задачі методом колокацій залежить від типу базисних функцій . У конкретних задачах вибір цих функцій слід здійснювати з урахуванням апріорної інформації про розв'язки задачі або на основі емпіричних даних. Нехай - це лінійна функція
,                                                                            (11.41)
параметри якої визначимо таким чином, щоб вона задовольняла неоднорідні граничні умови (11.5), тобто з системи рівнянь

,

.                                                                  (11.42)
Функції можна задати у вигляді:
, .                                       (11.43)
Очевидно, що за будь-яких функція (11.43) задовольняє умову (11.37, а). Значення , за якого буде задовольнятися друга умова (11.37, б), таке:
.                                                   (11.44)
Якщо в умовах (11.37, а, б) , то можливий інший вибір, а саме:
,

.                                                   (11.45)

4.Метод Гальоркіна

Як і в методі колокацій, у методі Гальоркіна наближений розв'язок крайової задачі (11.4), (11.5) шукаємо у вигляді
                                                                (11.48)
де , - лінійно незалежні, двічі диференційовані базисні функції, визначені на відрізку . Функція повинна задовольняти задані граничні умови (11.37, а), а функції , - відповідні однорідні граничні умови (11.37, 6).

Необхідно, щоб система базисних функцій , була ортогональною на відрізку , тобто
при і ,
і повною. Остання вимога означає, що не повинно існувати ніякої іншої відмінної від нуля функції, яка ортогональна до всіх функцій , .

Використовуючи наближений розв'язок (11.48) знайдемо нев'язку:
                                                    (11.49)
Коефіцієнти мають бути такими, щоб значення інтеграла від квадрата нев'язки

було найменшим.

Це досягається лише в тому випадку, коли нев'язка ортогональна до всіх базисних функцій . Умову ортогональності запишемо у вигляді:
,
або

,             (11.50)
Таким чином, отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для обчислення коефіцієнтів

5.Метод найменших квадратів

У методі найменших квадратів наближений розв'язок крайової задачі (11.4) і (11.5) задасться у вигляді:
,                                                               (11.54)
де , - лінійно незалежні, двічі диференційовані базисні функції, визначені на відрізку . Функція повинна задовольняти задані граничні умови (11.37, а), а функції , - відповідні однорідні граничні умови (11.38, б).

Підставимо наближений розв'язок (11.54) у рівняння (11.4) і знайдемо нев'язку:
,                                                (11.55)
абсолютна величина якої для повинна бути якомога меншою. Тому вимагатимемо, щоб виконувалася умова
                                                      (11.56)
Значення інтегралу будуть мінімальними за умов:

,

,

,

…      …      …      …

.
На основі цих умов формується система лінійних рівнянь для обчислення коефіцієнтів .

6.Метод скінченних елементів

Метод Гальоркіна накладає певні обмеження на вибір системи базисних функцій, які залежать від граничних умов крайової задачі. Це обмеження значно ускладнює реалізацію методу, особливо під час розв'язання задач математичної фізики. Це обмеження можна подолати, якщо для апроксимації розв'язку використовувати систему простих базисних функцій, які залежать від координат вузлів на відрізку . У цьому випадку розв'язання крайової задачі зводиться до формування і розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, тому метод отримав назву методу скінченних елементів. Його часто використовують для розв'язання дво- та тривимірних диференціальних рівнянь із частинними похідними.

Шукатимемо наближений розв'язок задачі
,                                       (11.59)
як лінійну комбінацію простих однотипних функцій

,                                                                         (11.60)
що мають вигляд
                                        (11.61)
і, як правило, називаються фінітними. Графік однієї з таких функцій наведено на рис. 2, де видно, що функція не дорівнює нулю тільки на інтервалі . Щодо множини фінітних функцій, які задаються на відрізку відомо, що вони лінійно незалежні (більш того, ортогональні в спеціальній енергетичній нормі) і утворюють повну систему в просторі .Це дає підставу використати їх як базисні функції в методі Гальоркіна.

рис. 2. Графік фінітної функції.
Запишемо умову ортогональності (11.50):
, (11.62)

і отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження невідомих .Праві частини цих рівнянь позначимо через і отримаємо для їх обчислення вираз
(11.63)
Коефіцієнти системи рівнянь (11.62) позначимо через

Знайдемо вирази для коефіцієнтів системи рівнянь з невідомими . Підставляючи в останній вираз , отримаємо

Перший з інтегралів у цьому виразі обчислимо по частинах:

Оскільки за граничних умов (11.60) використовуються , базисних функцій від до і всі вони в точках і дорівнюють 0, то

Тоді вираз для обчислення набуває вигляду:
(11.64)
Для обчислення треба знайти значення похідних від фінітних функцій. Із цією метою диференціюємо (11.61) і отримуємо:
(11.65)
Функція відмінна від нуля тільки на інтервалі . Крім того, на одному і тому ж інтервалі ненульовими є дві базисні функції і їх похідні з сусідніми індексами (рис. 3), тобто на інтервалі відмінні від нуля , , , і т. д.

рис. 3. Система фінітних функцій.

У виразі для (11.64) добутки , , можна вважати відмінними від нуля тому, що на елементарному інтервалі не дорівнюють нулю фінітні функції та їх похідні, які мають сусідні індекси у випадках, коли . А це означає, що
для ,                                                                  (11.66)
тобто матриця системи (11.62) є тридіагональною матрицею. її ненульові елементи обчислюються таким чином. Формули для діагональних елементів отримаємо, приймаючи у виразі (11.64):
                            (11.67)
Для , отримаємо формули для елементів правої бічної діагоналі матриці :
,                  (11.68)
а для - лівої;

Три останні вирази визначають систему алгебраїчних рівнянь (11.62) для невідомих коефіцієнтів .

Розглянемо розв’язання задачі (11.59) у випадку неоднорідних граничних умов
,                                                   (11.70)
і зведемо її до розв'язання задачі з однорідними граничними умовами. Для цього введемо заміну:
, де .
Двічі диференціюючи цю функцію і підставляючи вирази для похідних у рівняння (11.59), отримаємо крайову задачу з однорідними граничними умовами:
,

, .                                                                      (11.71)

Чисельні методи розвязування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

Курсова на тему Чисельні методи розвязування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь

Чисельні методи розвязування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь