Міністерство освіти і науки України
Сумський Державний Університет
Кафедра Інформатики
Курсова робота
на тему:
«Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь»
«Метод скінченних різниць»
Суми 2006
Зміст
Вступ
Постановка задачі
Метод скінчених різниць
Дослідження точності
Збіжність різницевої схеми
Програмна реалізація(представлена на мові Delphi
Висновки
Література
Вступ
На сьогоднішній день існує багато чисельних методів розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Але всі вони поділяються на дві групи: наближені методи чисельного розв’язання і наближені аналітичні методи.
Наближені чисельні методи:
1.Розв'язання лінійної крайової задачі комбінуванням двох задач Коші:
Припустимо, що розв'язок задачі (11.4), (11.5) будемо шукати у вигляді
де
а
Через те, що рівняння (11.4) є лінійним, функція
Якщо припустити, що розв’язок (11.6) задовольняє першу граничну умову (11.5) для будь-якого
Ця гранична умова задовольняється, якщо покласти
Рівність (11.9) справедлива, коли прийняти, наприклад, що
Щоб задовольнити рівність (11.10), можна покласти
Враховуємо, що одночасно
Таким чином, для розв'язання крайової задачі (11.4), (11.5) необхідно знайти розв'язок задач
з початковими умовами (11.12) чи (11 13). Для цього можна використати будь-який чисельний метод розв'язання задачі Коші для рівнянь другого порядку. Наближений розв'язок цих рівнянь отримуємо на відрізку
звідки
якщо
Коли
мас нетривіальний розв'язок
2. Метод прицілювання:
Викладений вище метод редукції крайової задачі до задачі Коші має певні недоліки.
Він не дозволяє використовувати методи розв'язання задачі Коші зі змінним порядком і змінним кроком. Розв'язки
Використання методу, як правило, обмежується лише одновимірною лінійною задачею. Причина полягає в тому, що під час розв'язання системи рівнянь потрібно обчислювати не одне значення константи А (11.16), а матрицю А, що є далеко не простою задачею.
Метод не придатний для розв'язання нелінійних крайових задач.
Ці недоліки спричинилися до появи нових методів. На практиці двоточкова крайова задача (лінійна чи нелінійна) звичайно розв'язується методом прицілювання (стрільби), назва якого запозичена із теорії артилерійської стрільби. Відповідно до цього методу розв'язок шуканого рівняння другого порядку
із заданими граничними умовами
знаходять у такий спосіб: ітераційним розв'язанням задачі Коші
підбирається значення першої похідної
Спочатку вибирається довільне значення
рис. 1. Ілюстрація методу стрільби.
Після цього шляхом інтерполяції уточнюється значення
…….. …….. ……..
де
Метод прицілювання є універсальним і використовується для розв'язання нелінійних диференціальних рівнянь
Наближені аналітичні методи:
3.Метод колокацій:
У методі колокацій розв'язок крайової задачі (11.4), (11.5) шукається у вигляді функції
де
а функції
Через лінійність граничних умов функція
Аналогічно для
Суть методу колокацій полягає в тому, що для заданих
де
Покладемо
тоді (11.39) матиме стандартний вигляд системи лінійних алгебраїчних рівнянь:
відносно коефіцієнтів
Точність розв'язку крайової задачі методом колокацій залежить від типу базисних функцій
параметри якої визначимо таким чином, щоб вона задовольняла неоднорідні граничні умови (11.5), тобто з системи рівнянь
Функції
Очевидно, що за будь-яких
Якщо в умовах (11.37, а, б)
4.Метод Гальоркіна
Як і в методі колокацій, у методі Гальоркіна наближений розв'язок крайової задачі (11.4), (11.5) шукаємо у вигляді
де
Необхідно, щоб система базисних функцій
і повною. Остання вимога означає, що не повинно існувати ніякої іншої відмінної від нуля функції, яка ортогональна до всіх функцій
Використовуючи наближений розв'язок (11.48) знайдемо нев'язку:
Коефіцієнти
було найменшим.
Це досягається лише в тому випадку, коли нев'язка
або
Таким чином, отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для обчислення коефіцієнтів
5.Метод найменших квадратів
У методі найменших квадратів наближений розв'язок крайової задачі (11.4) і (11.5) задасться у вигляді:
де
Підставимо наближений розв'язок (11.54) у рівняння (11.4) і знайдемо нев'язку:
абсолютна величина якої для
Значення інтегралу будуть мінімальними за умов:
… … … …
На основі цих умов формується система лінійних рівнянь для обчислення коефіцієнтів
6.Метод скінченних елементів
Метод Гальоркіна накладає певні обмеження на вибір системи базисних функцій, які залежать від граничних умов крайової задачі. Це обмеження значно ускладнює реалізацію методу, особливо під час розв'язання задач математичної фізики. Це обмеження можна подолати, якщо для апроксимації розв'язку використовувати систему простих базисних функцій, які залежать від координат вузлів на відрізку
Шукатимемо наближений розв'язок задачі
як лінійну комбінацію простих однотипних функцій
що мають вигляд
і, як правило, називаються фінітними. Графік однієї з таких функцій наведено на рис. 2, де видно, що функція не дорівнює нулю тільки на інтервалі
рис. 2. Графік фінітної функції.
Запишемо умову ортогональності (11.50):
і отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження невідомих
Коефіцієнти системи рівнянь (11.62) позначимо через
Знайдемо вирази для коефіцієнтів системи рівнянь
Перший з інтегралів у цьому виразі обчислимо по частинах:
Оскільки за граничних умов (11.60) використовуються
Тоді вираз для обчислення набуває вигляду:
Для обчислення
Функція відмінна від нуля тільки на інтервалі
рис. 3. Система фінітних функцій.
У виразі для
тобто матриця системи
Для
а для
Три останні вирази визначають систему алгебраїчних рівнянь (11.62) для невідомих коефіцієнтів
Розглянемо розв’язання задачі (11.59) у випадку неоднорідних граничних умов
і зведемо її до розв'язання задачі з однорідними граничними умовами. Для цього введемо заміну:
Двічі диференціюючи цю функцію і підставляючи вирази для похідних у рівняння (11.59), отримаємо крайову задачу з однорідними граничними умовами: